¿Hay alguna manera de recibir una notificación cuando el usuario apaga el dispositivo?

Puede utilizar la intención ACTION_SHUTDOWN que se emite cuando el teléfono está a punto de apagarse. La documentación dice:

Las aplicaciones normalmente no tendrán que manejar esto, ya que la actividad de primer plano también se detendrá.

En otras palabras, si responde apropiadamente a todos los eventos del ciclo de vida de su Actividad, no es necesario utilizarlo a menos que realmente desee realizar algo específico relacionado con el apagado.

El intento ACTION_SHUTDOWN se introdujo en el nivel 4 de la API, en otras palabras , sólo se enviará en teléfonos con Android 1.6 o posterior .

Atraparás la emisión con un BroadcastReceiver . Se verá algo como esto:

 public class ShutdownReceiver extends BroadcastReceiver { @Override public void onReceive(Context context, Intent intent) { //Insert code here } } 

También necesitará una entrada en su Manifiesto como el siguiente:

 <receiver android:name=".ShutdownReceiver"> <intent-filter> <action android:name="android.intent.action.ACTION_SHUTDOWN" /> </intent-filter> </receiver> 

Dependiendo de lo que estés haciendo, otra opción sería utilizar ACTION_BOOT_COMPLETED intención que se envía cuando se reinicia el teléfono.

Además de ACTION_SHUTDOWN , debe agregar android.intent.action.QUICKBOOT_POWEROFF a su filtro de intenciones.
ACTION_SHUTDOWN no siempre se transmite en algunos dispositivos HTC (por ejemplo, el Evo 4g).
Para ser más específico, si elige Reiniciar, se transmite ACTION_SHUTDOWN , pero si elige Apagar, se emite en su lugar QUICKBOOT_POWEROFF .

Para ampliar lo que Dave Webb dijo es la forma adecuada de manejar esto:

Puede anular las funciones del ciclo de vida de la actividad de Android :

 protected void onPause(); protected void onResume(); 

En la mayoría de los escenarios la implementación de estos debe ser suficiente y no requerirá que usted maneje específicamente los eventos de "apagado".

Hay mucha más información en el sitio Web de Android y en la respuesta a esta pregunta sobre el ciclo de vida .